Сейчас доверенность на право управления транспортным средством не нужна. Вам собственник (мать) передала машину. Вы являетесь законным владельцем транспортного средства. Если суд так не считает, то пусть привлекает в качестве соответчика Вашу маму (вы им только это не советуйте. Пусть сами догадаются. Что им нужно делать)

Сейчас не требуется наличия доверенности на автомобиль, главное, чтобы лицо, управляющее автомобилем, было в полисе ОСАГО внесено в список лиц, допущенных к управлению ТС. Полиса на момент ДТП у вас не было, допускается отсутствие полиса в течение 10 дней с момента заключения договора купли-продажи ТС, в этом случае штраф за отсутствие страховки не предусмотрен, а вот выплачивать ущерб пострадавшему придется.

Написать мама может, только это не нужно. Ответственность за ДТП несёте всё равно вы, т.к. управляли автомобилем, на законном основании (собственник автомобиля - мама, предоставила вам право пользования), доверенность для этого уже несколько лет не требуется. Мама собственник, на основании ст. 223 ГК, даже несмотря на то, что на учёт на своё имя она автомобиль не поставила.

В принципе может, потому как постая форма не требует никакого нотариального заверения, потому вы его каким угодно числом можете написать.